Paulo Ribenboim, Jörg Richstein, Wilfrid Keller's Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde PDF

By Paulo Ribenboim, Jörg Richstein, Wilfrid Keller

ISBN-10: 0387201696

ISBN-13: 9780387201696

ISBN-10: 3540342834

ISBN-13: 9783540342830

Die Welt der Primzahlen - in faszinierender Weise werden die wesentlichen Ergebnisse über die elementaren Bausteine der natürlichen Zahlen vorgestellt. Grundlegende Sätze und die wichtigsten offenen Fragen und ungelösten Probleme werden von einer wohl einmaligen Sammlung von Rekorden über Primzahlen begleitet. Ein umfangreiches Literaturverzeichnis ergänzt das Buch zu einer wichtigen Quelle für jeden Leser, der sich für die Zahlentheorie und insbesondere für Primzahlen interessiert. In der englischen Originalfassung quickly schon ein Klassiker, erscheint das Buch jetzt aktualisiert in deutscher Sprache.

Paulo Ribenboim ist emeritierter Professor der kanadischen Queen's collage, Fellow der Royal Society of Canada und Träger des George Pólya-Preises der Mathematical organization of the US. Er ist Autor von thirteen Büchern und über one hundred fifty Forschungsartikeln.

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This publication is dedicated to 1 of the instructions of study within the thought of transcen-
dental numbers. It contains an exposition of the elemental effects touching on
the mathematics houses of the values of E-functions which fulfill linear vary-
ential equations with coefficients within the box of rational capabilities.
The concept of an E-function was once brought in 1929 through Siegel, who created
a approach to proving transcendence and algebraic independence of the values of
such services. An E-function is a complete functionality whose Taylor sequence coeffi-
cients with appreciate to z are algebraic numbers with yes mathematics houses.
The least difficult instance of a transcendental E-function is the exponential functionality
e Z . In a few feel Siegel's strategy is a generalization of the classical Hermite-
Lindemann strategy for proving the transcendence of e and 1f and acquiring a few
other effects approximately mathematics homes of values of the exponential functionality at
algebraic issues.
In the process the earlier 30 years, Siegel's strategy has been extra built
and generalized. Many papers have seemed with normal theorems on transcen-
dence and algebraic independence of values of E-functions; estimates were
obtained for measures of linear independence, transcendence and algebraic inde-
pendence of such values; and the final theorems were utilized to numerous
classes of concrete E-functions. the necessity obviously arose for a monograph deliver-
ing jointly the main primary of those effects. the current booklet is an test
to meet this desire.

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Example text

Aus dem Satz folgt, dass es f¨ ur jede ganze Zahl a, die kein Vielfaches von p ist, einen kleinsten Exponenten h ≥ 1 geben muss, so dass ah ≡ 1 (mod p). Dar¨ uber hinaus gilt ak ≡ 1 (mod p) genau dann, wenn h ein Teiler von k ist; insbesondere ist h Teiler von p−1. Diesen Exponenten h nennt man die Ordnung von a modulo p. Man beachte, dass a mod p, a2 mod p, . . , ah−1 mod p, und 1 mod p alle verschieden sind. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass es f¨ ur jede Primzahl p mindestens eine Zahl g gibt, die von p nicht geteilt wird und die modulo p genau die Ordnung p − 1 hat.

Die Umkehrung ist falsch; beispielsweise ist 7 f¨ ur kein n ≥ 1 Teiler von 2n + 1. Primitive Primfaktoren Falls n ≥ 1 die kleinste ganze Zahl mit der Eigenschaft ist, dass p die Binomialzahl an − bn (beziehungsweise an + bn ) teilt, dann heißt p primitiver Primfaktor der entsprechenden Folge von Binomialzahlen. In diesem Fall folgt aus dem kleinen Satz von Fermat, dass p − 1 von n geteilt wird, was Legendre auffiel. Also taucht jedes prime p ∤ ab als primitiver Faktor irgendeiner Binomialzahl an − bn auf.

Unter Verwendung des Satzes von Zsigmondy ist es nicht schwer zu zeigen, dass P [an − bn ] ≥ n + 1, wenn n > 2. Schinzel zeigte 1962, dass P [an −bn ] ≥ 2n+1 in den folgenden F¨allen gilt (mit n > 2): 4 ∤ n, mit der Ausnahme von a = 2, b = 1, n = 6; k(ab) | n oder k(ab) = 2, mit den Ausnahmen a = 2, b = 1, n = 4, 6, oder 12. Erd¨os vermutete 1965, dass limn→∞ P [2n − 1]/n = ∞. Trotz sehr interessanter Arbeiten dazu konnte diese Vermutung bis heute nicht abschließend gekl¨ art werden. Allerdings gibt es sehr gute Teilergebnisse, von denen ich nun berichten werde.

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by Charles
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