Download e-book for iPad: Basiswissen Zahlentheorie: Einfuehrung in Zahlen und by Kristina Reiss

By Kristina Reiss

ISBN-10: 3540212485

ISBN-13: 9783540212485

Kenntnisse ?ber den Aufbau des Zahlsystems und ?ber elementare zahlentheoretische Prinzipien geh?ren zum unverzichtbaren Grundwissen in der Mathematik. Das vorliegende Buch spannt den Bogen vom Rechnen mit nat?rlichen Zahlen ?ber Teilbarkeitseigenschaften und Kongruenzbetrachtungen bis hin zu zahlentheoretischen Funktionen und Anwendungen wie der Kryptographie und Zahlencodierung. Wert wird dabei auf eine verst?ndliche und umfassende Darstellung des Stoffes gelegt. Beweisideen, die hinter stringent durchgef?hrten Beweisen stehen, und die Verkn?pfung von Fachwissen mit Schulbez?gen sind dabei als besondere Merkmale hervorzuheben. Erg?nzt wird die Darstellung durch viele ?bungsaufgaben, die mit L?sungshinweisen und vollst?ndigen L?sungen versehen sind.

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dental numbers. It comprises an exposition of the basic effects bearing on
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ential equations with coefficients within the box of rational features.
The thought of an E-function was once brought in 1929 by way of Siegel, who created
a approach to proving transcendence and algebraic independence of the values of
such features. An E-function is a whole functionality whose Taylor sequence coeffi-
cients with admire to z are algebraic numbers with yes mathematics homes.
The easiest instance of a transcendental E-function is the exponential functionality
e Z . In a few experience Siegel's technique is a generalization of the classical Hermite-
Lindemann strategy for proving the transcendence of e and 1f and acquiring a few
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algebraic issues.
In the process the prior 30 years, Siegel's technique has been extra constructed
and generalized. Many papers have seemed with basic theorems on transcen-
dence and algebraic independence of values of E-functions; estimates were
obtained for measures of linear independence, transcendence and algebraic inde-
pendence of such values; and the overall theorems were utilized to numerous
classes of concrete E-functions. the necessity certainly arose for a monograph deliver-
ing jointly the main basic of those effects. the current publication is an try
to meet this desire.

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Example text

April 1780 ” In diesem Abschnitt werden die nat¨ urlichen Zahlen 1, 2, 3, . . als gegeben angenommen. Sp¨ ater, n¨ amlich im letzten Abschnitt dieses Kapitels, wird dann behandelt, wie sie sich aus bestimmten Grundannahmen (allerdings nicht aus dem Nichts) herleiten lassen. Es wird vorausgesetzt, dass dem Leser das Rechnen mit nat¨ urlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen und die Kleioßer-Beziehung ≥“ oder >“ nicht nerbeziehung ≤“ oder <“ sowie die Gr¨ ” ” ” ” unbekannt sind. F¨ ur nat¨ urliche Zahlen wird diese Beziehung im Folgenden allerdings gekl¨ art.

Xn−1 + xn ) = x + x2 + . . + xn + xn+1 − (1 + x + . . + xn−1 + xn ) = xn+1 − 1 , 44 2. Nat¨ urliche Zahlen womit gezeigt ist, was gezeigt werden sollte. Wegen der verwendeten Punkte (und der damit verbundenen Schwierigkeiten) ist die Umformung allerdings nicht ganz befriedigend. Nat¨ urlich soll die Verwendung von Punkten in Formeln nicht generell verboten und ein unbedingter Formalismus gefordert werden. Doch darf bei ihrer Verwendung kein Zweifel bestehen, was an der Stelle eigentlich zu stehen hat.

Man pr¨ uft Folgendes: 1. Stimmt die Behauptung f¨ ur n = 1 ? 2. Falls die Behauptung f¨ ur ein n richtig ist, kann man folgern, dass sie auch f¨ ur n + 1 stimmt? Sind beide Pr¨ ufungen erfolgreich verlaufen, so muss die Behauptung f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen richtig sein. F¨ ur die Begr¨ undung dieser Aussage benutzt man die (intuitiv wenig erstaunliche) Tatsache, dass zwischen einer beliebigen urliche Zahl liegt. nat¨ urlichen Zahl n und n + 1 keine weitere nat¨ Ganz ausf¨ uhrlich kann man sich den Vorgang des Testens so vorstellen: Da n¨ amlich nach (1) die Behauptung f¨ ur n = 1 richtig ist, so muss sie nach (2) auch f¨ ur n = 2 richtig sein.

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Basiswissen Zahlentheorie: Einfuehrung in Zahlen und Zahlbereiche by Kristina Reiss


by Mark
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