New PDF release: Algebra fur Informatiker

By Buchmann J.

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R = R n f0g. Ein Korper ist ein kommutativer Schiefkorper. Bemerkung: Schiefkorper sind nullteilerfrei. 8. De nition Eine Teilmenge T von R, die bezuglich + ein Ring ist, hei t Teilring oder Unterring von R. R hei t dann Oberring von T . Entsprechend sind Teilkorper und Oberkorper de niert. 2 Polynomringe Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement 1 und S ein kommutativer Oberring von R mit Einselement 1. Sei z 2 S . 1) hat mit pi 2 R, 0 i n. a. nicht eindeutig. Die Menge aller Polynome in z uber R wird mit R z ] (lies: "R adjungiert z\) bezeichnet.

1 : : : 1). Sei v2 2 V , v2 linear unabhangig von 1. Dann ist das Bild (s1 : : : sk ) mit si 6= sj fur i 6= j . v2 ; si 7! h. fij(v2 ; si ), fj6 j(v2 ; si). Bilde also fur s = 0 1 : : : p ; 1 den ggT(v2 ; s f ). 1. Satz (Chinesischer Restsatz) Sei R Hauptidealring, m1 : : : mk paarweise teilerfremde Ringelemente, x1 : : : xk 2 R. Dann gibt es ein modulo M = m1 : : : mk eindeutig bestimmtes x 2 R mit x xi mod mi 1 i k. Beweis: Setze Mi = M mi 1 i k. Dann ist ggT(mi Mi ) = 1. Daher existieren ei yi mit ei Mi + yimi = 1.

Ub = 1, b also eine Einheit. 7. Satz Ist R Hauptidealring, so ist jedes irreduzible Element ein Primelement. Beweis: Sei p irreduzibel und teile p das Produkt ab. h. ggT(a p) = 1. Dann kann man 1 = xa + yp schreiben, also b = xab + ypb, woraus folgt, da p ein Teiler von b ist. 8. De nition R hei t ZPE-Ring, wenn jede von Null verschiedene Nichteinheit von R ein Produkt irreduzibler Elemente ist und die in diesem Produkt vorkommenden irreduziblen Elemente bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt sind.

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Algebra fur Informatiker by Buchmann J.


by Robert
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